Відповіді на вправи підручника: 451

451. На сторонах трикутника АВС задано вектори $\overline{\mathrm{AB}}$ (2; 10) і $\overline{\mathrm{AC}}$ (6; –2). Які координати мають вектори $\overline{\mathrm{AM}}$, $\overline{\mathrm{BN}}$ і $\overline{\mathrm{CP}}$, що визначаються медіанами даного трикутника? Знайдіть довжини його медіан.

Якщо заданої $\overline{\mathrm{AB}}$ (2; 10) і $\overline{\mathrm{AC}}$ (6; 2), то $\overline{\mathrm{BC}}$ = $\overline{\mathrm{AC}}$ – $\overline{\mathrm{AB}}$, $\overline{\mathrm{BC}}$ (6 – 2; –2 – 10), $\overline{\mathrm{BC}}$ (4; –12), $\overline{\mathrm{BA}}$ (–2; –10), $\overline{\mathrm{CB}}$ (–4; 12), $\overline{\mathrm{CA}}$ (–6; 2).

За результатом задачі, медіани $\overline{\mathrm{AM}}$ = $\frac{1}{2}$($\overline{\mathrm{AB}}$ + $\overline{\mathrm{AC}}$);

$\overline{\mathrm{AM}}$ = $\frac{1}{2}$($\overline{2+6;10-2}$) = $\frac{1}{2}$($\bar{8}$; 8) = ($\overline{4;4}$). $\overline{\mathrm{AM}}$ (4; 4).

$\overline{\mathrm{BN}}$ = $\frac{1}{2}$($\overline{\mathrm{BA}}$ + $\overline{\mathrm{BC}}$) = $\frac{1}{2}$($\overline{-2+4;-10-12}$) = $\frac{1}{2}$($\overline{2;-22}$) = ($\overline{1;-1}$).

$\overline{\mathrm{BN}}$ (1; –11).

$\overline{\mathrm{CP}}$ = $\frac{1}{2}$($\overline{\mathrm{CA}}$ + $\overline{\mathrm{CB}}$) = $\frac{1}{2}$($\overline{-6-4;2+12}$) = $\frac{1}{2}$($\overline{-10;14}$) = ($\overline{-5;7}$).

$\overline{\mathrm{CP}}$ (–5; 7).

Довжини медіана: |$\overline{\mathrm{AM}}$| = $\sqrt{4^2+4^2}$ = 4$\sqrt{2}$; |$\overline{\mathrm{BN}}$| = $\sqrt{1+121}$ = $\sqrt{122}$;

|$\overline{\mathrm{CP}}$| = $\sqrt{25+49}$ = $\sqrt{74}$.

Відповідь: $\overline{\mathrm{AM}}$ (4; 4), |$\overline{\mathrm{AM}}$| = 4$\sqrt{2}$; $\overline{\mathrm{BN}}$ (1; –11), |$\overline{\mathrm{BN}}$| = $\sqrt{122}$;

$\overline{\mathrm{CP}}$ (–5; 7), |$\overline{\mathrm{CP}}$| = $\sqrt{74}$.