Відповіді на вправи підручника: 447

447. Доведіть, що чотирикутник ABCD — квадрат, якщо.

Діагоналі чотирикутника ABCD AC і BD. Якщо діагоналі AC і BD рівні і перпендикулярні, то ABCD – квадрат.

1) A(1; 2), B(4; 5), C(7; 2), D(4; –1), тоді $\overline{\mathrm{AC}}$ (7 – 1; 2 – 2),

$\overline{\mathrm{AC}}$ (6; 0); $\overline{\mathrm{BD}}$ (4 – 4; –1 – 5), $\overline{\mathrm{BD}}$ (0; –6).

|$\overline{\mathrm{AC}}$| = $\sqrt{6^2+0^2}$ = 6; |$\overline{\mathrm{BD}}$| = $\sqrt{0^2+{(-6)}^2}$ = 6;

$\overline{\mathrm{AC}}$ • $\overline{\mathrm{BD}}$ = 6 • 0 + 0 • (–6) = 0, отже, |$\overline{\mathrm{AC}}$| = |$\overline{\mathrm{BD}}$| і $\overline{\mathrm{AC}}$ $\perp$ $\overline{\mathrm{BD}}$, тоді ABCD – квадрат. Що й треба було довести.

2) A(3; –2), B(1; 1), C(4; 3), D(6; 0), тоді $\overline{\mathrm{AC}}$ (4 – 3; 3 + 2),

$\overline{\mathrm{AC}}$ (1; 5); $\overline{\mathrm{BD}}$ (6 – 1; 0 – 1), $\overline{\mathrm{BD}}$ (5; –1).

|$\overline{\mathrm{AC}}$| = $\sqrt{1^2+5^2}$ = $\sqrt{1+25}$ = $\sqrt{26}$; |$\overline{\mathrm{BD}}$| = $\sqrt{5^2+{(-1)}^2}$ = $\sqrt{26}$;

$\overline{\mathrm{AC}}$ • $\overline{\mathrm{BD}}$ = 1 • 5 + 5 • (–1) = 0, отже, $\overline{\mathrm{AC}}$ $\perp$ $\overline{\mathrm{BD}}$ і |$\overline{\mathrm{AC}}$| = |$\overline{\mathrm{BD}}$|.

Тоді ABCD – квадрат. Що й треба було довести.