Відповіді на вправи підручника: 167

167. Доведіть тотожність:

1) $\frac{\sin (90°-\alpha )}{1-\sin \alpha }$ – $\frac{\sin (90°-\alpha )}{1+\sin \alpha }$ = $\frac{\cos \alpha }{1-\sin \alpha }$ – $\frac{\cos \alpha }{1+\sin \alpha }$ = ($\frac{1}{1-\sin \alpha }$ – $\frac{1}{1+\sin \alpha }$) = cos $\alpha$ • $\frac{1+\sin \alpha -1+\sin \alpha }{(1-\sin \alpha )(1-\sin \alpha )}$ = cos $\alpha$ • $\frac{2\sin \alpha }{1-{\sin }^2\alpha }$ = $\frac{2\sin \alpha \cos \alpha }{{\cos }^2\alpha }$ = $\frac{2\sin \alpha }{\cos \alpha }$ = 2tg $\alpha$;

2 tg $\alpha$ = 2 tg $\alpha$. Тотожність доведено.

2) $\frac{{1-c\mathrm{os}}^2(90°-\alpha )}{\sin (180°-\alpha )\cos \alpha }$ • tg $\alpha$ = $\frac{{1-\sin }^2\alpha }{\sin \alpha •\cos \alpha }$ • $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ = $\frac{{\cos }^2\alpha \sin \alpha }{\sin \alpha {\cos }^2\alpha }$ = 1;

1 = 1. Тотожність доведено.

3) ($\frac{1}{{\mathrm{сos}}^2(90°-\alpha )}$ – 1) • tg² (180° – $\alpha$) = ($\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ – 1) • (–tg $\alpha$)² = $\frac{{1-\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }$ • tg²$\alpha$ = $\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }$ • $\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$ = 1; 1 = 1. Тотожність доведено.