Вправи: 691

691. Навколо трикутника, кути якого пропорційні числам 3, 4 і 5, описано коло радіуса 6 см. Знайдіть довжини його дуг AB, BC і CA.

Дано: ∆АВС, вписаний в коло;

R = 6 см; ∠А : ∠В : ∠С = 3 : 4 : 5.

Знайти: ∪АВ, ∪ВС, ∪АС.

Розв’язання

Нехай ∠А = 3k, ∠B = 4k, ∠C = 5k.

∠BOC = 2 • ∠A = 2 • 3k = 6k; ∠AOC = 2 • ∠B =

= 2 • 4k = 8k;

∠AOB = 2 • ∠C = 2 • 5k = 10k.

6k + 8k + 10k = 360

24k = 360

k = 15

∠BOC = 6 • 15 = 90°; ∠AOC = 8 • 15 = 120°;

∠AOC = 10 • 15 = 150°.

l₁ = πRn180 = π • 6 • 90180 = 3π;

l₂ = πRn180 = π • 6 • 120180 = 4π;

l₃ = πRn180 = π • 6 • 150180 = 5π.

Відповідь: 3π; 4π; 5π.