Вправи: 604

604. У правильному восьмикутнику зі стороною 6 см сполучено середини чотирьох сторін, взятих через одну. Доведіть, що утворений чотирикутник — квадрат, і знайдіть його сторону.

Дано: ABCD… -

правильний 8 - кутник;

АВ = 6 см.

Довести: KNLM - квадрат

Знайти: KN.

Розв’язання

Кожна із сторін KN, NL, LM і MK є середніми лініями рівних трапецій.

Отже, KN = NL = LM = MK.

∠K = ∠N = ∠L = ∠M = 90° як вписані кути, що спираються на діаметр.

Отже, KNLM - квадрат.

∠AOB = 180°n = 180°8 = 45°.

∠AOF = 12 ∠ AOB = 12 • 45° = 22,5°

∆AFO (∠F = 90°): AF = 12 AB = 12 • 6 = 3 (см)

tg ∠AOF = AFOF; OF = AFtg ∠AOF = 3tg 22,5° = 7,3 (см)

OK = OF - як радіуси вписаного кола

KL = 2 • OK = 2 • 7,3 = 14,6 (см)

KN = KL2 = 14,61,4 = 10,4 (см)

Відповідь: 10,4 см.