Вправи: 569 (1)

569. У трикутник зі сторонами 13 см, 14 см і 15 см вписано коло, до якого проведено дотичну, паралельну середній стороні. Знайдіть площі частин, на які ця дотична розбиває трикутник.

Дано: ∆АВС; О - центр вписаного

кола; АВ = 13 см; ВС = 15 см;

АС = 14 см; КМ - дотична; КА ∥ АС

Знайти: S_KBM; S_AKMC.

Розв’язання

∆АВС:

p = 12(AB + BC + AC) = 12 • 42 = 21 (см)

S_ABC = 21(21 - 13) • (21 - 15) • (21 - 15) = 21 • 8 • 6 • 7 =

= 7 • 3 • 4 = 84 (см²)

r = Sp = 8421 = 4 (см)

∆KBM ~ ∆ABC - за двома кутами і K = BNBD.

Знайдемо BN і BD.

За теоремою косинусів з ∆АВС:

cos B = AB2 + BC2 - AC22 • AB • BC = 132 + 152 - 1422 • 13 • 15 = 169 + 225 - 196390 = 195390 =

= 12; ∠B = 60°.

Окільки коло вписане, то ВО - бісектриса і ∠KBD = 12 ∠B = 12 • 60° =

= 30°

∆BPO (∠P = 90°):

Po = r = 4 см; BO = 2r = 2 • 4 = 8 (см)

BD = BO - OD = 8 - 4 = 4 (см); BN = BO + ON = 12 (см)

Коефіцієнт пропорційності: k = BNBD = 124 = 3.

k² = 3² = 9. Отже, SABCSKBM= 9.

S_KBM = SABC9 = 849 = 939 = 913 (см²)

S_AKMC = 84 - 913 = 7423 (см²)

Відповідь: 913 см²; 7423 см².