Вправи: 560 (1)

560. Основи трапеції ABCD дорівнюють 7 см і 14 см, а діагоналі 9 см і 15 см. Знайдіть площі трикутників AOB, BOC, COD, AOD, де O —

точка перетину діагоналей.

Дано: ABCD - трапеція;

ВС = 7 см; AD = 14 см;

BD = 9 см; АС = 15 см

Знайти: S_AOB, S_BOC, S_COD, S_AOD.

Розв’язання

∆BOC ~ ∆AOD - за двома кутами.

BODO = BCAD; BODO = 714 = 12.

Нехай ВО = х, тоді DO = 2x

За умовою x + 2x = 9

3x = 9

x = 3. BO = 3 см; DO = 6 см.

COAO = BCAD; COAO = 714 = 12.

Нехай СО = х, тоді АО = 2х.

За умовою x + 2x = 15

3x = 15

x = 5. CO = 5 см; АО = 10 см.

За теоремою косинусів з ∆ВОС:

cos O = BO2 + CO2 - BC22 • BO • CO = 32 + 52 - 722 • 3 • 5 = 9 + 25 - 4930 = -1530 = -12.

∠BOC = 120°; ∠AOB = 180° - ∠BOC = 180° - 120° = 60°

S_BOC = 12 • BO • CO • sin 120° = 12 • 3 • 5 • sin 60° = 152 • 32 =

= 1534 (см²)

S_AOD = 12 • AO • DO • sin 120° = 12 • 10 • 6 • sin 60° = 30 • 32 =

= 153 (см²)

S_AOB = 12 • AO • BO • sin 60° = 12 • 10 • 3 • sin 60° = 15 • 32 =

= 1532 (см²)

S_COD = 12 • CO • DO • sin 60° = 12 • 5 • 6 • sin 60° = 15 • 32 =

= 1532 (см²)

Відповідь: 1532 см²; 1534 см²; 1532 см²; 153 см².