Вправи: 514 (1)

514. У трикутнику ABC сторона AC = 16 м, ∠CAB =122°. AL = 10 м — бісектриса даного трикутника. Знайдіть довжини сторін AB і BC.

Дано: ∆АВС; АС = 16 м;

∠САВ = 122°;

AL = 10 м - бісектриса.

Знайти: АВ, ВС.

Розв’язання

∠CAL = 12 ∠A = 12 • 122° = 61°.

За теоремою косинусів з ∆CAL: CL² = AC² + AL² - 2 • AC • AL • cos 61° = 16² + 10² - 2 • 16 • 10 •

• 0,48 = 256 + 100 - 320 • 0,48 = 356 - 153,6 = 202,4.

CL = 202,4 = 14 (см)

За теоремою косинусів з ∆LCA:

cos C = AC2 + CL2 - AL22 • AC • CL = 162 + 142 - 1022 • 16 • 14 = 256 + 196 - 1002 • 16 • 14 = 352448 =

= 0,79.

∠C = 37°

Із ∆САВ:

∠В = 180° - (∠А + ∠С) = 180° - (122° + 37°) = 21°

За теоремою синусів з ∆САВ:

BCsin A = ACsin B;

BC = AC • sin Asin B = 16 • sin 122°sin 21° = 16 • sin 58°sin 21° = 16 • 0,850,36 = 38 (м)

За теоремою синусів з ∆АВС:

ABsin C = ACsin B;

AB = AC • sin Csin B = 16 • sin 37°sin 21° = 16 • 0,60,36 ≈ 27 (м)

Відповідь: 27 м; 38 м.