Вправи: 491

491. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трапеції, бічна сторона якої дорівнює 15 см, а радіус вписаного кола — 6 см.

Дано: ABCD - трапеція;

АВ = 15 см; r = 6 см.

Знайти: R.

Розв’язання

Якщо трапеція вписана в коло, то вона рівнобічна.

BH = 2r = 2 • 6 = 12 (см)

∆AHB (∠H = 90°): sin A = BHAB = 1215 = 45 = 0,8.

AH = AB2 - BH2 = 152 - 122 = 225 - 144 = 81 = 9 см.

Якщо в трапецію можна вписати коло, то BC + CD = BC + AD = 30 см.

Нехай ВС = х см, тоді AD = x + 2 • 9 = (x + 18) см.

x + x + 18 = 30

2x + 18 = 30

2x = 12

x = 6

BC = 6 см; AD = 6 + 18 = 24 (см).

HD = AD - AH = 24 - 9 = 15 (см).

∆BHD (∠H = 90°):

BD = BH2 + HD2 = 125 + 152 = 144 + 225 = 369 = 19 (см)

За теоремою про описане коло з ∆ABD:

R = BD2 sin A = 192 • 0,8 ≈ 12 см

Відповідь: 12 см.