Вправи: 481

481. На катеті BC трикутника ABC (∠C = 90°) взято точку K так, що BK = a, ∠KAB = α, ∠AKB = β. Знайдіть сторони трикутника ABC.

Дано: ∆АВС; ∠С = 90°; K ∈ BC;

BK = a; ∠KAB = α; ∠AKB = β

Знайти: BC; AC; AB.

Розв’язання

В ∆КВА:

∠В = 180° - (α + β); sin B = sin(α + β)

За теоремою синуса з ∆КВА:

ABsin K = BKsin A; AB = BK • sin Ksin A = a • sin Bsinα

За теоремою синуса з ∆CВА:

ACsin B = ABsin C;

AC = AB • sin Bsin C = a • sinβ • sin(α + β) sin α • sin 90° = a • sinβ • sin(α + β) sinα.

В ∆СВА:

∠A = 90° - ∠B = 90° - (180° - (α + β)) = 90° - 180° + α + β = α + β -

- 90°.

За теоремою синусів з ∆СВА:

BCsin A = ABsin C;

BC = AB • sin Asin C = a • sinβ • sin(α + β - 90°) sin α • sin 90° = a • sinβ • sin(α + β - 90°) sinα.

Відповідь: a • sinβ • sin(α + β - 90°) sinα; a • sinβ sinα; a • sinβ • sin(α + β) sinα.