Вправи: 483 (1)

483. Діагональ рівнобічної трапеції дорівнює d й утворює з більшою основою кут α, а з бічною стороною — кут β. Знайдіть сторони трапеції.

Дано: ABCD - трапеція;

AB = CD; AC - діагональ;

AC = d; ∠CAD = α; ∠BAC = β.

Знайти: AB, BC, CD, AD.

Розв’язання

В ∆ACD:

∠C = 180° - (∠A + ∠D) = 180° - (α + α + β) = 180° - (2α + β);

sin C = sin(2α + β)

За теоремою синуса з ∆ACD:

CDsin A = ACsin D;

CD = AC • sinAsin D = d • sin α sin(α + β);

AB = CD = d • sin α sin(α + β)

За теоремою синуса з ∆ACD:

ADsin C = ACsin D;

AD = AC • sinCsin D = d • sin(2α + β) sin(α + β);

В тр-ції ABCD:

∠B = ∠C = 180° - (2α + β);

sin B = sin(2α + β).

За теоремою синусів з ∆АВС:

BCsin A = ACsin B;

BC = AC • sinAsin B = d • sin β sin(2α + β).

Відповідь: d • sin α sin(α + β); d • sin β sin(2α + β); d sin α sin(α + β); d • sin(2α + β) sin(α + β).