Вправи: 482 (1)

482. На продовженні катета AC за точку A у трикутнику ABC (∠C =

= 90°) взято точку M так, що AM = m, ∠CAB = α, ∠CMB = β. Знайдіть сторони трикутника ABC.

Дано: ∆АВС; ∠С = 90°;

М ∈ пр. АС; АМ = m;

∠CAB = α, ∠CMB = β.

Знайти: BC, AC, AB.

Розв’язання

В ∆АВМ: ∠А = 180° - α;

∠В = 180° - (∠А + ∠М) = 180° - (180° - α + β) =

= 180° - 180° + α - β = α - β.

За теоремою синусів з ∆АВМ:

ABsin M = AMsin B;

AB = AM • sin Msin B = m • sinβ sin(α - β).

За теоремою синусів з ∆СВА:

BCsin A = ABsin C;

BC = AB • sin Asin C = m • sin β • sin α sin(α - β) • sin 90° = m sin α • sinβ sin(α - β).

B ∆CBA: ∠B = 90° - ∠A = 90° - α

sin B = sin(90° - α) = cos α.

За теоремою синусів в ∆СВА:

ACsin B = ABsin C;

AC = AB • sin Bsin C = m • sin β • cos α sin(α - β) • sin 90° = m cos α • sinβ sin(α - β).

Відповідь: m sin α • sinβ sin(α - β); m cos α • sinβ sin(α - β); m sinβ sin(α - β).