Вправи: 141

141. Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках A(–2; 0),

B(–4; 6), C(2; 8), D(4; 2) — квадрат. Знайдіть його периметр, площу, радіус вписаного й описаного кіл.

Дано: ABCD – чотирикутник;

А(-2; 0), B(-4; 6), С(2; 8), D(4; 2).

Довести: ABCD - квадрат

Знайти: P_ABCD, S_ABCD, r, R.

Доведення

Знайдемо довжини сусідніх сторін і діагоналі:

AB = (-4+2)2+(6-0)2 = (-2)2+62 = 4+36 = 40 =

= 210;

BC = (2+4)2+(8-6)2 = 62+22 = 36+4 = 40 = 210;

AC = (2+2)2+(8-0)2 = 42+82 = 16+64 = 80 = 45;

BD = (4+4)2+(2-6)2 = 82+(-4)2 = 64+16 = 80 = 45.

Отже, AB = BC і AC = BD, тому за ознакою ABCD – квадрат

P_ABCD = 4AD = 4 • 210 = 810;

S_ABCD = AB² = (40)² = 40;

r = 12AB = 12 210 = 10;

R = 12AC = 12 • 45 = 25.

Відповідь: 810; 40; 10; 25.