Вправи: 143

143. Доведіть, що точки M(–2; –1), N(2; 7), K(–1; 1) лежать на одній прямій. Знайдіть відношення довжин відрізків MK і KN.

Дано: M(-2; -1), N(2; 7), K(-1; 1).

Довести: М, N, К лежать на одній прямій

Знайти: MK, KN.

Доведення

Знайдемо довжини відрізків MK і KN

MN = (2+2)2+(7+1)2 = 42+82 = 16+64 = 80 = 45.

MK = (-1+2)2+(1+1)2 = 12+22 = 1+4 = 5.

KN = (2+1)2+(7-1)2 = 32+62 = 9+36 = 45 = 35.

Отже, MN = MK + KN.

Тому точки M, N, K лежать на одній прямій. Точка K ділить відрізок MN у відношенні:

MKKN = 535 = 13

Відповідь: 1 : 3.

144 (а). Чи подібні трикутники ABC і KBP, якщо:

а) A(–5; –3), B(–1; 5), C(3; 1), K(–4; –1), P(2; 2).

Дано: А(-5; -3), В(-1; 5),

С(3; 1), К(-4; -1), P(2; 2).

Чи подібні ∆ABC і ∆KBP?

Доведення

Знайдемо довжини сторін:

AB = (-1+5)2+(5+3)2 = 42+82 = 16+64 = 80 = 45,

BK = (-4+1)2+(-1-5)2 = (-3)2+(-6)2 = 9+36 =

= 45 = 35,

BC = (1+1)2+(3-5)2 = 22+(-2)2 = 4+4 = 8 = 22,

BP = (2+1)2+(2-5)2 = 32+(-3)2 = 9+9 = 18 = 32,

AC = (3+5)2+(1+3)2 = 82+42 = 64+16 = 80 = 45.

PK = (-4-2)2+(-1-2)2 = (-6)2+(-3)2 = 36+9 =

= 45 = 35.

Якщо ∆АВС ~ ∆КВР, то

АВВК = ВСВР = АСРК;

4535 = 2232 = 4535; 43 ≠ 23 = 43.

Рівність неправильна, тому ∆ABC і ∆KBР - не подібні.

144 (б). Чи подібні трикутники ABC і KBP, якщо:

A(3; 1), B(–1; 5), C(–5; –3), K(2; 2), P(–2; 4)?

Дано: А(3; 1), В(-1; 5),

С(-5; -3), К(2; 2), P(-2; 4).

Чи подібні ∆ABC і ∆KBP?

Доведення

Знайдемо довжини сторін:

AB = (-1-3)2+(5-1)2 = (-4)2+42 =

= 16+16 = 32 = 42;

BK = (2+1)2+(2-5)2 = 32+(-3)2 = 9+9 = 18 = 32;

BC = (-5+1)2+(-3-5)2 = (-4)2+(-8)2 = 16+64 =

= 80 = 45;

BP = (-2+1)2+(4-5)2 = (-1)2+(-1)2 = 1+1 = 2;

AC = (-5-3)2+(-3-1)2 = (-8)2+(-4)2 = 64+16 =

= 80 = 45.

PK = (2+2)2+(2-4)2 = 42+(-2)2 = 16+4 = 20 = 25.

Якщо ∆АВС ~ ∆КВР, то

АВВК = ВСВР = АСРК;

4232 = 452 = 4525; 43 ≠ 452 ≠ 2.

Рівність неправильна, тому ∆ABC і ∆KBР - не подібні.