Вправи: 695

695. Скільки вершин має правильний многокутник, якщо:

1) радіус вписаного кола вдвічі менший від сторони многокутника;

2) радіус описаного кола вдвічі більший за радіус вписаного кола?

Нехай у правильного многокутника О – його центр, А і В – дві сусідні вершини. Проведемо висоту ∆АОВ ОН, яка є радіусом вписаного кола, і радіуси описаного кола ОА і ОВ. ∆АОВ – рівнобедрений, ОН – його висота, бісектриса, медіана.

1) якщо АВ у 2 рази більша за ОН, то АВ = 2ОН, НВ = 12АВ = ОН.

Тоді ∆ОНВ – прямокутний і рівнобедрений, отже, ∠ВОН = 45°, а отже, ∠АОВ = 45° • 2 = 90°. Кількість n сторін многокутника знайдемо з формули β = 360°n, n = 360°β, де β = ∠АОВ. Тоді n = 360°90° = 4, і многокутник має 4 сторони.

2) якщо ОВ у 2 рази більший за ОН, то ∠ОВН = 30° (кут, проти якого лежить катет, вдвічі менший від гіпотенузи), ОВ – бісектриса кута В многокутника, тоді кут α многокутника α = 30° • 2 = 60°. Кількість сторін многокутника знайдемо з формули α = 180°(n-2)n, 60° =

= 180°(n-2)n, n = 3(n – 2), n = 3n – 6, 2n = 6, n = 3.

Отже, у многокутника 3 сторони.

Відповідь: 1) 4 сторони; 2) 3 сторони.