Вправи: 691

691. Доведіть, що центральний кут правильного n–кутника дорівнює

його зовнішньому куту.

Нехай у правильного многокутника О – центр, В, А, Е – три послідовні вершини, ∠BAF – зовнішній кут кута n–кутника.

Розглянемо ∆ВОА і ∆АОЕ:

ОВ = ОА = ОЕ (радіуси описаного кола), АВ =

= АК (сторони правильного многокутника), Тоді ∆ВОА = ∆АОЕ за троьма сторонами,

∠ВАО = ∠ОАЕ = ∠ОЕА, оскільки трикутники рівнобедрені.

∠FAO – зовнішній кут для ∠ОАЕ, тоді

∠FAO = ∠AOE + ∠OEA.

∠FAO = ∠FAB + ∠BAO, звідки маємо:

∠AOE + ∠OEA = ∠FAB + ∠BAO.

Оскільки ∠ОЕА = ВАО, то ∠АОЕ = ∠FAB, тобто центральний кут правильного многокутника дорівнює зовнішньому його куту.

Що й треба було довести.