Вправи: 671

671. Знайдіть площу трикутника, якщо його висоти дорівнюють h_a, h_b, h_c.

Дано: ∆АВС;

АМ, ВК, CD – висоти;

AM = h_a; BK = h_b; CD = h_c.

Знайти: S_∆ABC.

Розв’язання

Виразимо сторони трикутника з рівності:

S = aha2 = bhb2 = chc2

a = 2Sha; b = 2Shb; c = 2Shc.

S = pp-ap-b(p-c)

p = 12(2Sha + 2Shb + 2Shc) = S(1ha + 1hb + 1hc).

S = S(1ha+ 1hb+1hc)•S(1ha+ 1hb+ 1hc- 2ha) • S•(1ha+1hb+1hc-2hc);

S = S²1ha+1hb+1hc•1hb+1hc-1ha(1ha+1hc-1hb) • 1ha+1hb-1hc) |: S².

1S = 1ha+1hb+1hc•1hb+1hc-1ha1ha+1hc-1hb1ha+1hb+1hc.

Відповідь: 1ha+1hb+1hc•1hb+1hc-1ha1ha+1hc-1hb1ha+1hb+1hc.