Вправи: 670

670. Знайдіть площу трикутника, якщо його медіани дорівнюють m_a,

m_b, m_c.

Дано: ∆АВС;

AM, BK, CD – медіани;

AM = m_a; BK = m_b; CD = m_c.

Знайти: S_∆ABC.

Розв'язання

Продовжимо медіану AM на відрізок ME так, що ME = 13AM. Одержали паралелограм OBEC, у якого BE = OC = 23m_c, BO = EC = 23m_b, OE = 23m_a.

Знайдемо S_∆OBE = pp- OE(p- OB)(p- BE).

p = 12 (OE + OE + BE) = 12 • 23 (m_a + m_b + m_c) = 13 (m_a + m_b + m_c).

S_∆OBE = 13(ma+ mb+ mc)(13ma + 13mb+13mc - 23ma ) •

•(13ma +13mb +13 mc-23 mb)(13ma +13mb +13mc -23 mc) =

= 19 (ma+mb+mc)(mb+mc-ma)(ma+mc-mb) •

• (ma+mb-mc).

S_∆BOC = S_∆OBE; S_∆ABC = 3 • S_∆OBE.

Відповідь: 13 (ma+mb+mc)(mb+mc-ma)(ma+mc-mb)(ma+mb-mc).