Вправи: 666

666. Доведіть, що площа чотирикутника дорівнює половині добутку

його діагоналей на синус кута між ними.

Дано: чотирикутник ABCD, O – точка перетину діагоналей;

BD = d₁, AC = d₂, ∠DOC = α.

Довести: S_ABCD = 12d₁d₂sin α.

Доведення.

S_DOC = 12OD • OC sin α; S_AOB = 12AO • OB sin α;

S_AOB = 12 (d₁ – OD)(d₂ – OC) sin α;

S_BOC = 12OB • OC sin ∠BOC = 12 (d₁ – OD)OC sin α, оскільки sin(180° –

– α) = sin α;

S_AOD = 12AO • OD sin∠AOD = 12 (d₂ – OC)OD sin α.

S_ABCD = S_DOC + S_AOB + S_BOC = S_AOD = 12sin α (OD • OC + (d₁ – OD)(d₂ –

– OC) + (d₁ – OD) • OC + (d₂ – OC) • OD) = 12sin α (OD • OC + d₁d₂ –

– d₁OC – d₂OD + OD • OC + d₁OC – OD • OC + d₂OD – OC • OD) =

= 12sin α d₁d₂.

Отже, S_ABCD = 12d₁d₂ sin α, що й треба було довести.