Вправи: 663

663. Бісектриса l прямого кута трикутника утворює з гіпотенузою кут α. Знайдіть площу трикутника.

Дано: ∆ABC; ∠C = 90°;

CK – бісектриса, CK = l;

∠CKA = α.

Знайти: S_∆ABC.

Розв'язання

Оскільки СК – бісектриса, то ∠BCK = ∠KCA = 45°.

З ∆CKA: ∠A = 180° –(∠KCA + ∠CKA) = 180° – (α +

+ 45°) = 135° – α.

З ∆АВС: ∠B = 90° – ∠A = 90° – (135° – α) = α – 45°.

S_∆ABC = BC•CA2.

За теоремою синусів з ∆СКА:

CAsinα = CKsinA;

sinA = sin(180° – (α + 45°)) = sin(α + 45°)

CAsinα = lsin(α+45°); CA = l• sinαsin(α+45°).

За теоремою синусів з ∆ВКС:

BCsin∠BKC = CKsinB;

∠ВКС = 180° – α – як суміжний з ∠СКА.

BCsin(180°- α) = lsin(α-45°); BC = l• sinαsin(α-45°).

S_∆ABC = l2sin2α2sinα-45°•sin(α+45°).

Відповідь: l2sin2α2sinα-45°•sin(α+45°).