Вправи: 664

664. Знайдіть площу трикутника за медіаною m і кутами α і β, які утворює медіана з прилеглими сторонами.

Дано: ∆АВС; ВМ – медіана;

∠АВМ = α, ∠СВМ = β

BM = m

Знайти: S_∆SBC.

Розв'язання

Продовжимо медіану BM і побудуємо паралелограм ABCD, у якому

∠B = ∠D = α + β; ∠A = ∠C = 180° – (α + β).

S_∆ABC = 12AB • BC • sinB.

За теоремою синусів з ∆DAB:

DBsinA = ABsinβ;

sinA = sin(180° – (α + β)) = sin(α + β)

2msin(α+β) = ABsinβ; AB = 2m•sinβsin(α+β).

За теоремою синусів з ∆ВCD:

DBsinC = BCsinα;

sinС = sin(180° – (α + β)) = sin(α + β)

2msin(α+β) = BCsinα; BC = 2m•sinαsin(α-β).

S_∆ABC = 12 • 4m2•sinα•sinβsin2(α+ β) • sin(α + β) = 2m2•sinα•sinβsin(α+ β).

Відповідь: 2m2•sinα•sinβsin(α+ β).