Вправи: 650

650. Доведіть, що площа паралелограма дорівнює половині добутку

його діагоналей на синус кута між ними.

Дано: ABCD – паралелограм; О – точка перетину АС і BD; AC = d₁, BD = d₂; BOA = α.

Довести: S_ABCD = 12d₁d₂ sin α.

Доведення. Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл, тому

OB = OD = 12d₂, OA = OC = 12d₁;

∠BOC = 180° – ∠BOA = 180° – α.

S_∆AOB = 12OA • OB • sin∠BOA, S_∆AOB = 12 (12d₁)•

• ( 12d₂)sin α = 18d₁d₂ sin α.

∆COD = ∆AOB, в отже, S_∆COD = S_∆AOB = 18d₁d₂ sin α.

S_∆BOC = 12OC • OB • sin∠BOC, S_∆BOC = 12 (12d₁)( 12d₂)sin(180° – α) =

= 18d₁d₂ sin α.

∆DOA = ∆BOC, а отже, S_∆DOA = S_∆BOC = 18d₁d₂ sin α.

Діагоналі паралелограма розбивають його на рівні трикутники. Тоді

S_ABCD = 4 • S_∆AOB, S_ABCD = 4 • 18d₁d₂ sin α, SABCD = 12d₁d₂ sin α.

Що й треба було довести.