Вправи: 600

600. У паралелограмі діагональ дорівнює d, сторона — а, а кут між

ними — α. Знайдіть невідомі діагональ, сторону й кути паралелогра–

ма, якщо:

Нехай у паралелограмі ABCD AC = d, AD = a, ∠CAD = α. Тоді за теоремою косинусів з ∆ACD маємо:

CD² = AC² + AD² – 2AC • CD cos ∠CAD;

CD² = d² + a² – 2ad cos α,

CD = d2+ a2-2ad cosα;

за теоремою синусів ACsin∠D = CDsin∠CAD, sin∠D = ACsin∠CADCD,

sin∠D = dsinαCD, ∠B = ∠D, ∠A = 180° – ∠D, ∠C = ∠A.

Із ∆ABD BD = AD2+AB2-2AD •AB •cos∠A,

BD = a2+ CD2- 2a •CD •cos∠A. Отже:

1) якщо d = 10, a = 6, α = 20°, то

CD = 102+ 62- 2 •10•6 •cos20° ≈ 136-120 •0,9397 ≈

≈ 23,236 ≈ 4,8;

sin ∠D ≈ 10 •sin20°4,8 ≈ 10 •0,3424,8 = 0,7125, ∠D ≈ 45°30’ або

∠D = 180° – 45°30’ = 134°30’. ∠D лежить проти найбільшої сторони ∆ACD, тому ∠B = ∠D = 134°30’. Тоді ∠С = ∠А = 180° – 134°30’ =

= 45°30’.

BD = 62+ 4,82- 2 •6 •4,8 •cos45°30' ≈ 59,04-57,6 •0,7 ≈

≈ 4,3.

Відповідь: BD = 4,3; CD = 4,8; ∠B = ∠D = 134°30’, ∠A = ∠C = 45°30’.

2) якщо d = 12, a = 5, α = 35°, то

CD = 122+ 52- 2 •12•5 •cos35° ≈ 169-120 •0,8192 ≈

≈ 70,696 ≈ 8,4;

sin ∠D ≈ 12 •sin35°8,4 ≈ 12 •0,57368,4 ≈ 0,8194, ∠D ≈ 125°; ∠B = 125°;

∠A = 180° – 125° = 55°. ∠C = 55°;

BD = 25+ 8,42- 2 •5 •8,4 •cos55° ≈ 95,56-84 •0,5736 ≈

≈ 47,38 ≈ 6,9.

Відповідь: CD ≈ 8,4; BD ≈ 6,9; ∠A = ∠C = 55°, ∠B = ∠D = 125°.

3) якщо d = a = 5, α = 32°, то ∆ACD рівнобедрений (AC = AD), тоді

∠ACD = D = 180°- ∠CAD2, ∠D = 180°-32°2 = 74°, ∠B = 74°, ∠A = 180° –

– 74° = 106°, ∠C = 106°;

CD = 52+ 52- 2 •5 •5 cos32° ≈ 50-50 •0,848 = 7,6 ≈ 2,8;

BD ≈ 52+ 2,82- 2 •5 •2,8cos106° ≈ 32,84+28 •0,2756 =

= 40,5568 = 6,4.

Відповідь: CD ≈ 2,8; BD ≈ 6,4, ∠A = ∠C = 106°; ∠B = ∠D = 74°.