Вправи: 531

531. У трикутнику ABC медіана BM утворює зі стороною AB більший

кут, ніж зі стороною BC. Доведіть, що BC > AB.

У ∆АВС ВМ – медіана, ∠АВС > ∠СВМ. Позначимо ∠АВМ = α, ∠СВМ = β,

α > β. За теоремою синусів у ∆АВМ:

AMsinα = ABsin∠AMB, у ∆СВМ: MCsinβ =

= BCsin∠CMB.

АВ = AMsin∠AMBsinα, ВС = MCsin∠CMBsinβ.

За умовою АМ = МС, ∠СМВ = 180° – ∠АМВ, тоді АВ = AMsin∠AMBsinα,

ВС = AMsin(180°- ∠AMB)sinβ = AMsin∠AMBsinβ.

Знайдемо різницю

ВС – АВ = АМ sin ∠AMB(1sinβ – 1sinα) = AMsin∠AMBsinα sinβ (sin α – sin β);

sin α > sin β, тому ВС – АВ > 0, тобто ВС > АВ.

Що й треба було довести.