Відповіді на вправи: 1.16-1.17

1.16. Порівняйте суму квадратів двох довільних чисел та їхній

подвоєний добуток.

а² + b² – 2аb = (а – b)² ≥ 0 при довільних значеннях змінних а і b.

Отже, а² + b² ≥ 2аb.

1.17. Дано три послідовних натуральних числа. Порівняйте: 1) квадрат середнього із цих чисел і добуток двох інших; 2) подвоєний квадрат середнього із цих чисел і суму квадратів двох інших.

Нехай а, а + 1, а + 2 — три послідовні натуральні числа.

1) (а + 1)² – а(а + 2) = а² + 2а + 1 – а² – 2а = 1 > 0. Отже, (а + 1)² > а(а + 2) при будь–яких значеннях змінної а;

2) 2(а + 1)² – (а² + (а + 2)²) – 2(а² + 2а + 1) – (а² + а² + 4а + 4) = 2а² + 4а + 2 – 2а² – 4а – 4 = –2 < 0. Отже, 2(а + 1)² < а² + (а + 2)² при будь–яких значеннях змінної а.