Відповіді на вправи: 1.14

1.14. Доведіть нерівність:

1) (За + 2)(2а – 4) – (2а – 5)² – 3(4а – 12) = (6a² – 12a + 4a – 8) – (4a² – 20a + 25) – 12a + 36 = 6а² – 8а – 8 – 4а² + 20а – 25 – 12а + 36 = 2а² + 3. Оскільки 2а² ≥ 0 і 3 > 0 при будь–яких а, то 2а² + 3 > 0 при будь–яких а. Отже, (За + 2)(2а – 4) – (2а – 5)² > 3(4а – 12) при будь–яких а;

2) (а – b)(а + 5b) – ((2а + b)(а + 4b) + аb) = а² + 5а – аb – 5b² – (2а² + 8аb + аb + 4b² + аb)= а² + 4аb – 5b² – 2а² – 10аb – 4b² = –а² – 9b² – баb = –(а² + 6аb + 9b²) = –(а + 3b)² ≤ 0 при будь–яких а і b. Отже, (а – b)(а + 5b) ≤ (2а + b)(а + 4b) + аb при будь–яких

а і b.

3) 4b² + 4b + 3 = 4b² + 4b + 1 + 2 = (2b +1)² + 2.

Оскільки (2b + 1)² ≥ 0, 2 > 0, тo 4b² + 4b + 3 > 0;

4) a(a – 3) – 5(a – 4) = a² – 3a – 5a + 20 = a² – 8а + 20 = а² – 8а + 16 + 4 = (а – 4)² + 4.

Оскільки (а – 4)² ≥ 0 і 4 > 0 при будь–яких а, то (а – 4)² + 4 > 0 при будь–яких а. Отже, а(а – 3) > 5(а – 4) при будь–яких а;

5) 2a² – 8a + 16 = 2(a² – 4a + 8) = 2(a² – 4a + 4 + 4) – 2((a – 2)² + 4) = 2(a – 2)² + 8. Оскільки 2(a – 2)² ≥ 0,8 > 0, тo 2a² – 8a + 16 > 0;

6) a² + ab + b² = a² + 2a • 12b + 14b² + b² = (a + 12b)² + 34b². Оскільки (a + 12b)² ≥ 0 i 34b² ≥ 0 при будь–яких значеннях a і b, то (a + 12b)² + 34b² ≥ 0 при будь–яких значеннях а і b. Отже, а² + ab + b² ≥ 0 при будь–яких значеннях а і b.