Відповіді на вправи: 1.15

1.15. Доведіть нерівність:

1) 9х² – 6ху + 4у² = (Зх)² – 2 • Зxy + y² – у² + 4у² = (Зх – у)² + Зy². Оскільки (3x – у)² ≥ 0 та Зу² ≥ 0 при будь–яких значеннях

змінних x і y, то (Зх – у)² + Зу² ≥ 0 при будь– яких значеннях змінних х і у. Отже, 9x² – 6ху + 4у² ≥ 0;

2) (28а – 32) – (7а² – 4) – 28а – 32 – 7а² + 4 = –7а² + 28а – 28 = –7(а² – 4а + 4) = –7(а – 2)² ≤ 0. Отже, 28а – 32 ≤ 7а² – 4;

3) 3(b – 1) – b(b + 1) = 3b – 3 – b² – b = –b² + 2b – 3 = –(b² – 2b + 3) = –(b2 – 2b + 1 + 2) = –((b – 1)² + 2) = –(b – 1)² + (–2) < 0 (як сума недодатного та від’ємного числа). Отже, 3(b – 2) < b(b + 1).