Відповіді на вправи: 24.91

24.91. Довжини сторін прямокутного трикутника утворюють ариф–

метичну прогресію, а його менший катет дорівнює a. Знайдіть площу трикутника.

Менший катет за умовою дорівнює а, тоді другий катет — (а + d),

гіпотенуза — (а + 2d), причому d > 0.

За теоремою Піфагора а² + (а + d)² = (а + 2d)²;

а² + а² + 2аd + d² = а² + 4аd + 4d²; Зd² + 2аd – а² = 0;

D = 4a² + 12a² = 16a²; d₁ = $\frac{-2a+4a}{6}$ = $\frac{2a}{6}$ = $\frac{a}{3}$; d₂ = $\frac{-2a-4a}{6}$ < 0.

Якщо d = $\frac{a}{3}$, то другий квадрат дорівнює a + d = a + $\frac{a}{3}$ = $\frac{4}{3}$a.

S∆ = $\frac{1}{2}$a • $\frac{4}{3}$a = $\frac{2}{3}$a².

Відповідь: $\frac{2}{3}$а².