Відповіді на вправи: 24.94

24.94. Чи можуть довжини сторін прямокутного трикутника утво–

рювати геометричну прогресію? У разі ствердної відповіді знайдіть знаменник цієї прогресії.

Нехай сторони прямокутного трикутника є членами геометричної

прогресії, тоді вони дорівнюють b, bq і bq², де q — знаменник цієї прогресії.

За теоремою Піфагора b² + (bq)² = (bq²)²; b² + b²q² = b²q⁴;

q⁴ – q² – 1 = 0 (b ≠ 0); D = 1 + 4 = 5;

$q_1^2$ = $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, q = $\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$ (q > 0); $q_2^2$ = $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ < 0. Отже, q = $\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$.

Відповідь: так, q = $\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$.