Відповіді на вправи: 24.96 (1-2)

24.96. Дано геометричну прогресію (b_n) зі знаменником q. Знайдіть:

1) b₅ = –$\frac{16}{27}$, q = –$\frac{2}{3}$. b₅ = b₁ • q⁴; b₁ = b₅ : q⁴ = –$\frac{16}{27}$ : (–$\frac{2}{3}$)⁴ = –$\frac{16}{27}$ • $\frac{81}{16}$ = –3.

Відповідь: –3.

2) b₁ = $\frac{2}{3}$, b₄ = $\frac{9}{32}$. b₄ = b₁ • q³; q³ = b₄ : b₁ = $\frac{9}{32}$ : $\frac{2}{3}$ = $\frac{9}{32}$ • $\frac{3}{2}$ = $\frac{27}{64}$;

q = $\sqrt[3]{\frac{27}{64}}$ = $\frac{3}{4}$.

Відповідь: $\frac{3}{4}$.

3) b₇ = 192, q = 2. b₇ = b₁ • q⁶; b₁ = b₇ : q⁶ = 192 : 2⁶ = $\frac{192}{64}$ = 3.

Тоді S₇ = $\frac{b_1(q^7-1)}{q-1}$ = $\frac{3(2^7-1)}{q-1}$ = 3 • (128 – 1) = 3 • 127 = 381.

Відповідь: 381.

4) b₅ = 9$\sqrt{6}$, q = $\sqrt{3}$. b₅ = b₁ • q⁴; b₁ = b₅ : q⁴ = $\frac{9\sqrt{6}}{(\sqrt{3}{)}^4}$ = $\frac{9\sqrt{6}}{9}$ = $\sqrt{6}$.

S₅ = $\frac{b_1(q^5-1)}{q-1}$ = $\frac{\sqrt{6}\left(\right(\sqrt{3}{)}^5-1)}{\sqrt{3}-1}$ = $\frac{\sqrt{6}(9\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}-1}$ = $\frac{\sqrt{6}(9\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$ = $\frac{\sqrt{6}(9\sqrt{3}•\sqrt{3}+9\sqrt{3}-\sqrt{3}-1)}{3-1}$ = $\frac{\sqrt{6}(26+8\sqrt{3})}{2}$ = $\frac{2\sqrt{6}(13+4\sqrt{3})}{2}$ = $\sqrt{6}$(13 + 4$\sqrt{3}$) = $\sqrt{6}$ • 13 + 4$\sqrt{3}$ • $\sqrt{6}$ = 13$\sqrt{6}$ + 12$\sqrt{2}$.

Відповідь: 13$\sqrt{6}$ + 12$\sqrt{2}$.