Відповіді на вправи: 24.98

24.98. Знайдіть 4 числа, які утворюють геометричну прогресію,

якщо сума її крайніх членів дорівнює $\frac{35}{3}$, а сума середніх дорівнює 10.

b₁ + b₄ = $\frac{35}{3}$; b₂ + b₃ = 10. b₁ + b₁q³ = $\frac{35}{3}$, b₁(1 + q³) = $\frac{35}{3}$, :

b₁q + b₁q² = 10; b₁q(1 + q) = 10;

$\frac{1+q^3}{q(1+q)}$ = $\frac{35}{30}$; $\frac{(1+q)(1-q+q^2)}{q(1+q)}$ = $\frac{35}{30}$; $\frac{1-q+q^2}{q}$ = $\frac{7}{6}$; 6 – 6q + 6q² = 7q;

6q² – 13q + 6 = 0; D = 169 – 4 • 6 • 6 = 169 – 144 = 25;

q₁ = $\frac{13+5}{2•6}$ = $\frac{18}{12}$ = $\frac{3}{2}$; q₂ = $\frac{13-5}{2•6}$ = $\frac{8}{12}$ = $\frac{2}{3}$.

Якщо q = $\frac{3}{2}$, то b₁ = $\frac{10}{q(1+q)}$ = $\frac{10}{\frac{3}{2}(1+\frac{3}{2})}$ = $\frac{10}{\frac{3}{2}•\frac{5}{2}}$ = $\frac{8}{3}$ = 2$\frac{2}{3}$.

b₂ = b₁q = $\frac{8}{3}$ • $\frac{3}{2}$ = 4; b₃ = b₂q = 4 • $\frac{3}{2}$ = 6; b₄ = b₃ • q = 6 • $\frac{3}{2}$ = 9.

Якщо q = $\frac{2}{3}$, то b₁ = $\frac{10}{q(1+q)}$ = $\frac{10}{\frac{2}{3}(1+\frac{2}{3})}$ = $\frac{10}{\frac{2}{3}•\frac{5}{3}}$ = $\frac{10•9}{10}$ = 9.

b₂ = b₁q = 9 • $\frac{2}{3}$ = 6; b₃ = b₂q = 6 • $\frac{2}{3}$ = 4;

b₄ = b₃q = 4 • $\frac{2}{3}$ = $\frac{8}{3}$ = 2$\frac{2}{3}$.

Відповідь: 2$\frac{2}{3}$; 4; 6; 9.