Відповіді на вправи: 24.99

24.99. Відомо, що нескінченна послідовність b₁, b₂, b₃, ... є геоме–

тричною прогресією зі знаменником q ≠ 1. Чи є геометричною

прогресією послідовність:

1) Послідовність b₂, b₄, b₆, … або b₁q, b₁q³, b₁q⁵, … є геометричною прогресією зі знаменником $\frac{b_1{q}^3}{b_{1}q}$ = q².

2) Послідовність b₁ + 1, b₂ + 1, b₃ + 1, … не є геометричною прогресією, оскільки $\frac{b_2+1}{b_1+1}$ ≠ $\frac{b_3+1}{b_2+1}$.

3) Послідовність $b_1^2$, $b_2^2$, $b_3^2$, … або $b_1^2$, $b_1^2$q², $b_1^2$q⁴, … є геометричною прогресією зі знаменником $\frac{b_1^2{q}^2}{b_1^2}$ = $\frac{b_1^2{q}^4}{b_1^2{q}^2}$ = q².

4) Послідовність –b₁, –b₃, –b₅, … є геометричною прогресією зі знаменником $\frac{{-b}_3}{{-b}_1}$ = $\frac{{-b}_1{q}^2}{{-b}_1}$ = q².

5) Послідовність b₁ + b₂, b₂ + b₃, b₃ + b₄, ... є геометричною прогресію.

b₁ + b₂ = b₂ + b₁q = b₁(1 + q); b₃ + b₄ = b₁q² + b₁q³ = b₁q²(1 + q);

(b₁ + b₂)(b₃ + b₄) = b₁(1 + q) • b₁q²(1 + q) = $b_1^2$q²(1 + q)².

(b₂ + b₃)² = (b₁q + b₁q²)² = (b₁q)²(1 + q)² = $b_1^2$q²(1 + q²).

Отже, (b₂ + b₃)² = (b₁ + b₂)(b₃ + b₄). Знаменник: $\frac{b_{1}q(1+q)}{b_1(1+q)}$ = q.

6) Послідовність $\frac{1}{b_1}$, $\frac{1}{b_2}$, $\frac{1}{b_3}$, … є геометричною прогресією зі знаменником: $\frac{1}{b_2}$ : $\frac{1}{b_1}$ = $\frac{1}{b_{1}q}$ • $\frac{b_1}{1}$ = $\frac{1}{q}$. $\frac{1}{b_1}$ • $\frac{1}{b_3}$ = $\frac{1}{b_1}$ • $\frac{1}{b_1{q}^2}$ = $\frac{1}{b_1^2{q}^2}$;

($\frac{1}{b_2}$)² = $\frac{1}{b_1^2{q}^2}$; $\frac{1}{b_1}$ • $\frac{1}{b_3}$ = ($\frac{1}{b_2}$)².