Відповіді на вправи: 13.32

13.32. Чи існують 100 таких натуральних чисел, що будь–яка сума

кількох із них не є квадратом натурального числа?

Скористаємось тим, що квадрат будь–якого натурального числа

повинен містити парний степінь деякого простого числа у розкладі на прості множники. Наприклад, степені числа 2.

Побудуємо послідовність цілих чисел, будь–яка сума яких міститиме

двійку в непарному степені в тому не може бути точним квадратом.

В якості такої послідовності візьмемо непарні степені числа 2: 2¹, 2³, 2⁵, 2⁷, ..., 2¹⁹⁹, ... . Сума будь–якої кількості чисел з цієї послідовності містить у розкладі на прості множники 2 в непарному степені.

Наприклад: 2³ + 2⁷ + 2⁹ + 2¹³ = 2³(1 + 2⁴ + 2⁶ + 2¹⁰). В дужках — непарне число. Тому в розкладі суми на прості множники стоятиме 2³, значить, сума не може бути квадратом.