Задачі підвищеної складності: 34 (1)

34. Скільки розв’язків має система рівнянь залежно від значень а:

1) x² + y² = 4, x² + y² = 2²,

x – y = a; y = x – a.

Графік першого рівняння — коло

з центром у початку координат

і радіусом 2. у = х – а — пряма.

Пряма і коло можуть мати одну,

дві або жодної спільних точок.

Пряма у = х – а паралельна прямій у = х. Проведемо дотичну до кола, паралельну прямій у = x.

ОА ⊥ АВ як радіус, проведений

в точку дотику, ОА = АВ = 2;

ОВ = 22+ 22 = 22.

Отже, якщо а = ±22, то пряма у = х – а і коло мають одну спільну точку.

Якщо а > 22 або а < –22 — спільних точок немає. Якщо |а| < 22, то пряма і коло мають дві спільних точки.

то пряма і коло мають дві спільних точки.

2) x² + y² = a², x² + y² = a²,

|x| = 2; x = 2 або x = –2.

Якщо |а| < 2, то коло х² + у² = 2² і прямі x = 2 та х = –2 не мають

спільних точок.

Якщо |а| = 2, то коло дотикається до

прямих у двох точках.

Якщо |а| > 2, то коло і прямі мають

4 спільних точки.

Якщо |а| < 2, прямі і коло не мають

спільних точок.

Відповідь: якщо |а| < 2, система не

має розв’язків; якщо |а| = 2 — два

розв’язки; якщо |а| > 2 — чотири розв’язки.