Задачі підвищеної складності: 37 (1)

37. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) ху = 15, • 2, 2xy = 30, +

x² + x + y² + y = 12; х² + у² + x + y = 12;

xy = 15, xy = 15

(x² + y² + 2xy) + (x + y) = 42; (x + y)² + (x + y) – 42 = 0.

Нехай х + у = а, тоді а² + а – 42 = 0; a = –7 або а = 6.

Якщо х + у = –7, то xy = 15, x = –y – 7,

x = –y – 7; x² + 7x + 15 = 0.

D = 49 – 60 < 0. Розв’язків немає.

Якщо x + у = 6, то ху = 15, x = 6 – y

x = 6 – y; y² – 6y + 15 = 0.

D = 36 – 60 < 0. Розв’язків немає.

Відповідь: розв’язків немає.

2) xy = –12, –xy = 12, • 2,

x² – x + y² + y = 18; x² + y² – (x – y) – 18 = 0;

–2xy = 24, xy = –12,

(x² – 2xy + y²) – (x – y) – 18 = 0; (x – y)² – (x – y) – 42 = 0.

Нехай (х – у) = а, тоді а² – а – 42 = 0. D = 1 + 168 = 169.

a₁ = 1+132 = 7; a₂ = 1-132 = –6.

Якщо x – y = 7, то xy = –12, x = y + 7,

x = y + 7; y² + 7y + 12 = 0;

x = y + 7, y = –4, або y = –3,

y = –4 або y = –3; x = 3 x = 4.

Якщо х – у = –6, то y = x + 6, y = x + 6,

x(x + 6) = –12; x² + 6x + 12 = 0.

D = 36 – 48 < 0. Розв’язків немає.

Відповідь: (3; –4), (4; –3).