Задачі підвищеної складності: 32

32. За яких значеннь b подвійна нерівність справджується для будь–якого значення х?

–9 < 3x2+ bx-6x2- x+1 < 6; 3x2+ bx-6x2- x+1 > –9,

3x2+ bx-6x2- x+1 < 6.

Розв’яжемо нерівності, враховуючи, що x² – x + 1 > 0, (D < 0).

1) Зx² + bх – 6 > –9(x² – x + 1); –Зx² + bх – 6 > –9x² + 9x – 9;

12x² – (b – 9)х + 3 > 0.

D = b² – 18b + 81 – 144 = b² – 18b – 63. Оскільки 12 > 0, тричлен набуватиме додатних значень, якщо він не матиме коренів (D < 0).

b² – 18b – 63 < 0; D₁ = 324 + 252 = 576 = 24²;

b₁ = 18+242 = 21; b₂ = 18-242 = –3. Отже, –3 < b < 21.

2) Зx² + bх – 6 < 6x² – 6x + 6; Зx² – (6 + b)х + 12 > 0.

D = 36 + 12b + b² – 144 = b² – 12b – 108. D < 0, якщо b² – 12b – 108 < 0.

D₁ = 144 + 432 = 576 = 24²; b₁ = -12+242 = 6; b₂ = -24-122 = –18.

Отже, –18 < b < 6.

Розв’язком системи є переріз одержаних проміжків: –3 < x < 6.

Відповідь: –3 < x < 6.