Задачі підвищеної складності: 20

20. Доведіть, що графік функції у = (x – a)(x – b) – с² при будь–яких значеннях a, b і с має з віссю x хоча б одну спільну точку.

у = (х – а)(х – b) – с². Перетворимо вираз, що задає функцію.

(х – а)(х – b) – с² = х² – ах – bх + аb – с² = х² – (а + b)х + аb – с². Графік функції у має з віссю х хоча б одну спільну точку, якщо дискримінант квадратного тричлена невід’ємний.

D = (а + b)² – 4(аb – с²) = а² + 2аb + b² – 4аb + 4с² = а² – 2аb + b² + 4с² = (а – b)² + 4с² ≥ 0 при будь–яких значеннях змінних а, b і с.