Вправи для повторення розділу 3: 68

68. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії (b_n), у якої

|q| < 1, якщо:

1) (b_n); b₂ = 36; b₄ = 4. S – ?

Розв’язання

b₄ = b₁ • q³; b₁ • q³ = 4; | :

b₂ = b₁q; b_1q = 36; q² = $\frac{1}{9}$; q = $\pm$ $\frac{1}{3}$.

Якщо q = –$\frac{1}{3}$;

b₁ = $\frac{36}{q}$ = $\frac{36}{-\frac{1}{3}}$ = –108; S = $\frac{b_1}{1-q}$ = $\frac{-108}{1+\frac{1}{3}}$ = $\frac{-108}{1\frac{1}{3}}$ = $\frac{-108}{\frac{4}{3}}$ = –81.

Якщо q = $\frac{1}{3}$; b₁ = $\frac{36}{q}$ = $\frac{36}{\frac{1}{3}}$ = 108; S = $\frac{b_1}{1-q}$ = $\frac{108}{1-\frac{2}{3}}$ = 162.

2) (b_n); b₄b₆ = 1, b₃ + b₅ = 17. S – ?

Розв’язання

b₄b₆ = 1; b₁q³ • b₁q⁵ = 1;

b₃ + b₅ = 17; b₁q² + b₁q⁴ = 17.

b₁²q⁸ = 1; (b₁q⁴)² = 1; b₁q⁴ = $\pm$ 1; b₁q² = $\frac{b_1{q}^4}{q^2}$; $\frac{b_1{q}^4}{q^2}$(1 + q²) = 17.

Якщо b₁q⁴ = –1, то ліва частина рівності від’ємна, що неможливо.

Якщо b₁q⁴ = 1, то $\frac{1+q^2}{q^2}$ = 17; 17q² = 1 + q²; 16q² = 1; q² = $\frac{1}{16}$;

q = $\pm$ $\frac{1}{4}$. Якщо q = –$\frac{1}{4}$, b₁ = $\frac{1}{q^4}$ = $\frac{1}{(-\frac{1}{4}{)}^4}$ = $\frac{1}{\frac{1}{256}}$ = 256.

S = $\frac{b_1}{1-q}$ = $\frac{256}{1+\frac{1}{4}}$ = $\frac{256}{\frac{5}{4}}$ = $\frac{1024}{5}$ = 204$\frac{4}{5}$.

Якщо q = $\frac{1}{4}$, b₁ = $\frac{1}{q^4}$ = $\frac{1}{{\left(\frac{1}{4}\right)}^4}$ = $\frac{1}{\frac{1}{256}}$ = 256.

S = $\frac{b_1}{1-q}$ = $\frac{256}{1-\frac{1}{4}}$ = $\frac{256}{\frac{3}{4}}$ = $\frac{1024}{3}$ = 341$\frac{1}{3}$.

Відповідь: 1) –81 або 162; 2) 204$\frac{4}{5}$ або 341$\frac{1}{3}$.