Вправи для повторення розділу 3: 68

68. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії (b_n), у якої

|q| < 1, якщо:

1) (b_n); b₂ = 36; b₄ = 4. S – ?

Розв’язання

b₄ = b₁ • q³; b₁ • q³ = 4; | :

b₂ = b₁q; b_1q = 36; q² = 19; q = ± 13.

Якщо q = –13;

b₁ = 36q = 36-13 = –108; S = b11 - q = -1081 + 13 = -108113 = -10843 = –81.

Якщо q = 13; b₁ = 36q = 3613 = 108; S = b11 - q = 1081 - 23 = 162.

2) (b_n); b₄b₆ = 1, b₃ + b₅ = 17. S – ?

Розв’язання

b₄b₆ = 1; b₁q³ • b₁q⁵ = 1;

b₃ + b₅ = 17; b₁q² + b₁q⁴ = 17.

b₁²q⁸ = 1; (b₁q⁴)² = 1; b₁q⁴ = ± 1; b₁q² = b1q4q2; b1q4q2(1 + q²) = 17.

Якщо b₁q⁴ = –1, то ліва частина рівності від’ємна, що неможливо.

Якщо b₁q⁴ = 1, то 1 + q2q2 = 17; 17q² = 1 + q²; 16q² = 1; q² = 116;

q = ± 14. Якщо q = –14, b₁ = 1q4 = 1(-14)4 = 11256 = 256.

S = b11 - q = 2561 + 14 = 25654 = 10245 = 20445.

Якщо q = 14, b₁ = 1q4 = 1(14)4 = 11256 = 256.

S = b11 - q = 2561 - 14 = 25634 = 10243 = 34113.

Відповідь: 1) –81 або 162; 2) 20445 або 34113.