Вправи для повторення розділу 3: 69

69. Сума нескінченної геометричної прогресії зі знаменником q, де |q| < 1, дорівнює 9, а сума квадратів її членів – 40,5. Знайдіть

перший член і знаменник прогресії.

(b_n); S = 9; b₁₂ + b₂₂ + b₃₂ + … = 40,5. b₁ – ? q – ?

Розв’язання

S = $\frac{b_1}{1-q}$; $\frac{b_1}{1-q}$ = 9; b₁ = 9(1 – q).

Sквадратів = $\frac{b_1^2}{{1-q}^2}$ = $\frac{{\left(9\right(1-q\left)\right)}^2}{(1-q)(1+q)}$ = $\frac{81(1-q)}{1+q}$;

$\frac{81(1-q)}{1+q}$ = 40,5 |: 40,5;

$\frac{2(1-q)}{1+q}$ = 1;

2(1 – q) = 1 + q;

2 – 2q = 1 + q;

–2q – q = 1 – 2;

–3q = –1;

q = $\frac{1}{3}$.

b₁ = 9(1 – $\frac{1}{3}$) = 9 • $\frac{2}{3}$ = 6.

Відповідь: b₁ = 6; q = $\frac{1}{3}$.