Вправи для повторення розділу 3: 70

70. S – сума нескінченної геометричної прогресії (b_n) зі знаменником q, де |q| < 1. Доведіть, що $\frac{S}{S-b_1}$ = $\frac{b_1}{b_2}$.

S – сума нескінченної геометричної прогресії (b_n).

Довести: $\frac{S}{S-b_1}$ = $\frac{b_1}{b_2}$.

Доведення

S = $\frac{b_1}{1-q}$; S – b₁ = $\frac{b_1}{1-q}$ – b_1\^1–q = $\frac{b_1-b_1+b_{1}q}{1-q}$ = $\frac{b_{1}q}{1-q}$;

$\frac{S}{S-b_1}$ = $\frac{\frac{b_1}{1-q}}{\frac{b_{1}q}{1-q}}$ = $\frac{b_1}{b_{1}q}$ = $\frac{b_1}{b_2}$.

Отже, $\frac{S}{S-b_1}$ = $\frac{b_1}{b_2}$.