Вправи для повторення розділу 1: 4

4. Доведіть нерівність.

1) (m + 1)² – 4m = m² + 2m + 1 – 4m = m² – 2m + 1 = (m – 1)² $\ge$ 0, отже, (m + 1)² $\ge$ 4m;

2) (4b – 1)² + 8b = 16b² – 8b + 1 + 8b = 16b² + 1; 16b² $\ge$ 0,

16b² + 1 > 0, отже, (4b – 1)² > –8b;

3) $\frac{a^2+1}{2}$ – a = а² – 2a + 1 = (a – 1)² $\ge$ 0, отже, $\frac{a^2+1}{2}$ $\ge$ а;

4) $\frac{m}{m^2+1}$ – $\frac{1}{2}$ = $\frac{2m-m^2-1}{2(m^2+1)}$ = –$\frac{m^2-2m+1}{2(m^2+1)}$ = –$\frac{{(m-1)}^2}{2{(m}^2+1)}$;

(m – 1)² $\ge$ 0, m² + 1 > 0, отже, –$\frac{{(m-1)}^2}{2{(m}^2+1)}$ < 0; маємо: $\frac{m}{m^2+1}$ $\le$ $\frac{1}{2}$.