Вправи для повторення розділу 1: 7

7. Порівняйте вирази.

1) Знайдемо різнищо виразів: (а³ – b²) – аb(b – а) = (а – b)(а² + аb + b²) – аb(b – а) = (а – b)(а² + аb + b² + аb) = (а – b)(а + b)².

а – b ≥ 0, оскільки а ≥ b; (а + b)² ≥ 0. Отже, (а – b)(а + b)² ≥ 0, тоді а³ – b³ ≥ аb(b – а).

2) Знайдемо різницю виразів: m² + n² – 12 = m² + n² – mn – 12. Домножимо на 2:

2m² + 2n² + 2mn – 2mn – 1 = (m² + 2mn + n²) + (m² – 2mn + n²) – 1 = (m + n)² + (m – n)² – 1 = 1 + (m – n)² – 1 = (m – n)² ≥ 0.

Отже, m² + n² ≥ 12.