Відповіді до завдань § 15 - § 21: 21.26 (1)

21.26. Розв’яжіть рівняння, якщо |x| < 1:

1) $\frac{1}{x}$ + x + x² + … + xⁿ + … = $\frac{7}{2}$.

x + x² + … + xⁿ + …; b₁ = x; q = x² : x = x.

S = $\frac{b_1}{1-q}$ = $\frac{x}{1-x}$; $\frac{1}{x}$ + $\frac{x}{1-x}$ = $\frac{7}{2}$;

$\frac{1^{\backslash 2(1-x)}}{x}$ + $\frac{x^{\backslash 2x}}{1-x}$ – $\frac{7^{\backslash x(1-x)}}{2}$ = 0;

$\frac{2-2x+{2x}^2-7x+{7x}^2}{2x(1-x)}$ = 0; x $\ne$ 0; x $\ne$ 1;

9x² – 9x + 2 = 0;

D = (–9)² – 4 • 9 • 2 = 81 – 72 = 9.

x₁ = $\frac{9-\sqrt{9}}{2•9}$ = $\frac{9-3}{18}$ = $\frac{6}{18}$ = $\frac{1}{3}$; x₂ = $\frac{9+3}{18}$ = $\frac{12}{18}$ = $\frac{2}{3}$.

Відповідь: $\frac{1}{3}$; $\frac{2}{3}$.

2) 1 – x + x² – x³ + … = $\frac{13}{6}$ – 3x.

–x + x² – x³ + …; b₁ = –x; q = x² : (–x) = –x.

S = $\frac{b_1}{1-q}$ = $\frac{-x}{1+x}$; 1 – $\frac{x}{1+x}$ = $\frac{13}{6}$ – 3x;

1 – $\frac{x}{1+x}$ – $\frac{13}{6}$ + 3x = 0;

3x^\6(1+x) – $\frac{x^{\backslash 6}}{1+x}$ – $\frac{7^{\backslash 1+x}}{6}$ = 0;

$\frac{18x+{18x}^2-6x-7-7x}{6(1+x)}$ = 0; x $\ne$ –1.

18x² + 5x – 7 = 0;

D = 5² – 4 • 18 • (–7) = 25 + 504 = 529.

x₁ = $\frac{-5-\sqrt{529}}{2•18}$ = $\frac{-5-23}{36}$ = $\frac{-28}{36}$ = –$\frac{7}{9}$; x₂ = $\frac{-5+23}{36}$ = $\frac{18}{36}$ = $\frac{1}{2}$.

Відповідь: –$\frac{7}{9}$; $\frac{1}{2}$.