Відповіді до завдань § 15 - § 21: 20.32

20.32. Розв’яжіть систему рівнянь:

$\frac{y}{2x}$ – $\frac{x}{y}$ = $\frac{1}{2}$, y² – 2x² – xy = 0,

y² – 5xy + 2x² = 32; y² – 5xy + 2x² = 32;

y² – 2x² + x² – 3x² + xy = 0,

y² – 2xy + x² – 3xy + x² = 32.

Віднімемо перше рівняння від другого: –4xy + 4x² = 32; x² – xy = 8;

y = $\frac{x^2-8}{x}$.

Підставимо знайдене значення у перше рівняння даної системи:

$\frac{x^2-8}{{2x}^2}$ – $\frac{x^2}{x^2-8}$ = $\frac{1}{2}$; $\frac{{(x-8)}^2-{2x}^4}{{2x}^2{(x}^2-8)}$ = $\frac{1}{2}$; $\frac{x^4-{16x}^2+64-{2x}^4}{{2x}^4-{16x}^2}$ = $\frac{1}{2}$;

2х⁴ – 32х² + 128 – 4х⁴ = 2х⁴ – 16х²; –4х⁴ – 16х² + 128 = 0,

х⁴ + 4х² – 32 = 0.

Нехай х² = а, тоді а² + 4а – 32 = 0. D = 16 + 128 = 144;

а = $\frac{-4+12}{2}$ = 4 (а ≥ 0). Отже, х² = 4, тоді x = –2 або х = 2.

Відповідно, у = $\frac{{(-2)}^2-8}{-2}$= 2 або $\frac{2^2-8}{-2}$ = –2.

Відповідь: (–2; 2), (2; –2).