Відповіді до завдань § 15 - § 21: 19.13

19.13. Розв’яжіть рівняння x⁶ + 3x³ + 1 = y⁴ у цілих числах.

x⁶ + 3x³ + 1 = y⁴;

(x³)² + 2x³ + 1 + x³ = y⁴;

(x³ + 1)² + x³ = y⁴;

t = x³; t² + 3t + 1 = y^4| • 4;

4y⁴ = 4t² + 12t + 4;

4y⁴ = 4t² + 12t + 9 – 5;

4y⁴ = (2t + 3)² – 5;

(2x³ + 3)² – 4y⁴ = 5;

(2x³ + 3 – 2y²)(2x³ + 3 + 2y²) = 5;

1) (1; 5): 2x³ + 3 – 2y² = 1 або 2x³ + 3 + 2y² = 5;

Додамо ці рівняння: 4x³ + 6 = 6; 4x³ = 0; x³ = 0; x = 0.

2 • 0³ + 3 + 2y² = 5; 2y² = 5 – 3; 2y² = 2; y² = 1; y = ± 1.

(0; 1), (0; –1).

2) (5; 1): Це неможливо, оскільки перший множник не може бути більшим за другий.

3) (–5; –1): 2x³ + 3 – 2y² = –5 або 2x³ + 3 + 2y² = –1;

Додамо ці рівняння: 4x³ + 6 = –6; 4x³ = –12; x³ = –3.

Це неможливо для цілого х.

4) (–1; –5): 2x³ + 3 – 2y² = –1 або 2x³ + 3 + 2y² = –5.

4x³ + 6 = –6; x³ = –3.

Це неможливо для цілого х.

Відповідь: (0; 1), (0; –1).