Відповіді до завдань § 15 - § 21: 16.34

16.34. Доведіть, що коли числа $\frac{1}{b+c}$, $\frac{1}{a+c}$ і $\frac{1}{a+b}$ утворюють

арифметичну прогресію, то числа а², b² і c² також утворюють

арифметичну прогресію.

Якщо $\frac{1}{b+c}$; $\frac{1}{a+c}$ і $\frac{1}{a+b}$ утворюють арифметичну прогресію, то $\frac{1}{a+c}$ – $\frac{1}{b+c}$ = $\frac{1}{a+b}$ – $\frac{1}{a+c}$; $\frac{b+c-a-c}{(a+c)(b+c)}$ = $\frac{a+c-a-b}{(a+b)(a+c)}$; $\frac{b-a}{(a+c)(b+c)}$ = $\frac{c-b}{(a+b)(a+c)}$; (b – a)(a + b)(a + c) = (a + c)(b + c)(c – b).

a + c $\ne$ 0, тому b² – а² = c² – b². А це означає, що а², b² і c² – члени арифметичної прогресії.