Відповіді до завдань § 15 - § 21: 15.17

15.17. Доведіть, що послідовність (p_n), де р_n = 2n² + 6n – 5, не містить найбільшого члена, а послідовність t_n = –n² – 4n не містить найменшого члена.

Розглянемо різницю р_n+1 – р_n = 2(n + 1)² + 6(n + 1) – 5 – 2n² – 6n + 5 = 2n² + 4n + 2 + 6n + 1 – 2n² – 6n = 4n + 3 > 0, оскільки n — натуральне число. Отже, послідовність p_n — зростаюча. Тобто для кожного n–го члена послідовності знайдеться більший від нього (n + 1)–й член, найбільшого члена немає.

Аналогічно для k > n t_k – t_n = –k² – 4k + n² + 4n = –(k² – n²) – 4(k – n) = –(k – n)(k + n – 4) < 0.

Тобто послідовність спадна, кожний її наступний член менший попереднього, отже, найменшого члена немає.