Відповіді до завдань § 15 - § 21: 15.15

15.15. Знайдіть найбільший член послідовності, заданої формулою

n–го члена:

1) а_n = 26 – n². Розглянемо як функцію у = 26 – n². Її графіком є парабола з вершиною (0; 26), гілки якої напрямлені вниз. Значить, найбільше значення у(n) = y(0) = 26, але n ≠ 0.

При n = 1 а_n = 26 – 1² = 25.

Отже, найбільший член послідовності — a₁ = 25.

2) Аналогічно, розглянемо функцію у = –2n² + 16n.

n_в = -16-2 •2 = 4, у_в = –2 • 4² + 16 • 4 = –32 + 64 = 32.

Отже, n = 4, b₄ = 32.

3) с_n = (–1)ⁿ. Послідовність має вигляд: –1, 1, –1, 1, –1, 1, –1, ... Отже, найбільші члени — це члені з парними номерами: с_2k = 1.

4) у_n = –n² + 5n. Розглянемо функцію у = –n² + 5n, областю визначення якої є множина натуральних чисел. Взагалі, графіком функції у є парабола з вершиною у точці з абсцисою -5-2 = 2,5 і напрямленими вниз гілками. Але число 2,5 не входить до області визначення функції.

Тоді найбільші значення мають у₂ = у₃ = –2² + 5 • 2 =6.

Відповідь: 1) а₁ = 25; 2) b₄ = 32; 3) с_2k = 1, де k — натуральне; 4) y₂ = y₃ = 6.