Задачі підвищеної складності з геометрії: 4

4. Діагоналі опуклого чотирикутника розбивають його на чотири трикутники, периметри яких однакові. Визначте вид чотирикутника.

1) Нехай ABCD — даний чотирикутник, точка O — точка перетину

діагоналей. Доведемо спочатку, що AO = ОС, BO = OD.

2) Припустимо, що це не так. Тоді можливі два випадки.

І випадок. Точка O — середина однієї з діагоналей (наприклад, AC) і не є серединою іншої. Нехай для визначення BO < OD. Позначимо на OD точку B1 таку, що OB1 = OB. Розглянемо ∆OB1C. Оскільки ∆ABO = ∆CB1O (за першою ознакою), то AB = CB1.За умовою PABO = PCDO, або AB + AO + OA = OB1 + B1D + DC + CO. Враховуючи, що

маємо AB = B₁D + DC або CB₁ = B₁D + DC, що суперечить нерівності трикутника.

II випадок. Точка O не є серединою жодної із діагоналей. Нехай для визначення AO < ОС, BO < OD. Позначимо точки A1 і B1 на відрізках OL і OD так, що OA1 = OA і OB1 = OB.Розглянемо ∆OB1C. Оскільки ∆ABO = ∆CB1O (за першою ознакою), то AB = CB1.

∆AOB = ∆A₁OB₁ (за першою ознакою), тому AB = A₁B₁.

За умовою P_ABO = P_CDO, aбо AB + AO + OB = OB₁ + B₁D + DC + CA₁ + A₁O. Враховуючи, що OA₁ = OA і OB₁ = OB, маємо AB = B₁D + DC + CA₁, або A₁B₁ = B₁D + DC + CA₁, що можливо лише, якщо A₁, С, В і D лежать на одній прямій.

3) Отже, довели, що AO = ОС; BO = OD, а тому ABCD — паралелограм.

4) P_АОВ = Р_СОВ, але AO = CO, тому AB = BC. Тому ABCD є ромбом.

Відповідь: Ромб.