Задачі підвищеної складності з геометрії: 2

2. На основі AB рівнобедреного трикутника ABC взято довільну точку K. Через цю точку паралельно BC і AC проведено прямі, які перетинають сторони трикутника. Доведіть, що периметр паралелограма, який при цьому утворився, не залежить від положення точки K.

1) KM ∥ BC; KL ∥ AC, де K — довільна точка, що належить AB.2) ∠A = ∠B, оскільки ∆АВС — рівнобедрений з основою AB.3) ∠MKA = ∠CBA (відповідні, утворені при перетині паралельних прямих CB і MK січною AB).4) Отже, ∠MKA = ∠B і ∠A = ∠B, тому ∠MKA = ∠A;∆AMK — рівнобедрений і MK = AM.5) PMKLC = 2(KM + MC) = 2(АМ + MC) = 2AC, тобто периметр паралелограма не залежить від вибору точки К, що й треба було довести.